应用数学家究竟研究什么样的问题呢？我们可以用一个经典例子来解释。我们曾经说过牛顿是应用数学的鼻祖。为了解释观察到的天体运行资料，他根据开普勒的天体运行三大定律，以及他自己的三大力学定律，提出了划时代的万有引力定律。但是，这一推论所需要的数学，远远超出了当时传统数学的范围。因此，他发展出微积分来处理这一力学问题，才求出了行星和卫星运行的规律。他并对行星和卫星的运行作出推测，得到实证。从牛顿的工作中我们可以看出应用数学研究的五个步骤：

 第一：收集经验数据。应用数学家们在自然界和社会中观察、实验，获得大量的资料，并加以整理。如天体运行的资料，到牛顿的时候已积累了不少，从托勒密、哥白尼、开普勒，到伽利略，已做了不少整理工作。牛顿本人也直接从事过天象观察，但这丰富、复杂的资料在显示什么呢？第二：寻找经验数据中的规律，即，要了解收集到的数据、资料的意义，掌握其中的规律。在上面所举的例子中，这是开普勒所做的工作。第三：建立数学模型。应用数学家根据这些资料，进行分析，创立适当的数学模型。在上述例中，这是牛顿的工作。在这种基础上，牛顿继续走了第四步：即发展数学理论。根据这些理论，可以用数学方法（包括求解）对科学课题作出预测。在此两点工作中，很有可能要创造新的数学。再以牛顿为例，为了结合开普勒的三大定律及牛顿的三大力学定律来作分析，所需要的数学，远远超越了传统数学的范围。因此牛顿不得不发展出崭新的领域，发展出微积分，来处理他的力学问题。第五：用经验资料验证数学模型。当用数学原理和工具解释了数学模型后，就要回到原来的实际问题去解释问题，如果模型与经验观察\数据不符合，就需要修改数学模型，或另起炉灶；如果数据模型得出结论与经验观察相符合，则可从中获得原始问题中事物的发展规律。这些规律还可提炼成普遍的规律，解释不同研究对象的问题。只有经过实验难，应用数学家们寻求的规律才能说明自然与社会的发展，并产生社会效果。牛顿就是用他发明的微积分，得出了最重要的万有引力定律，求得了行星运行的规律。

 从应用数学的研究过程，可以看出应用数学的真谛：从自然现象出发，回到自然现象，两端都是事实。

 应用数学的研究范围有哪些呢？林家翘认为应用数学的研究范围非常广泛，可以借用爱因斯坦的语言来这样描述应用数学：”它的范围可定义为我们全部知识中能够用数学语言表达的那个部分。”这句话原来是用来定义物理学的，但根据文献资料，它的内涵清楚地包括了经济学、生物学等学科中的数学理论，因此这名话可能更适合于描述应用数学的范围。一个应用数学家的智慧在于他能够判断数学的方法在哪些科学问题上最有成效？而在哪些问题上的作用是有限的或无效的，然后再致力于将数学方法用在最有成效的科学问题上。

 在二次世界大战以前，应用数学的研究对象绝大部分与物理学有关。二次大战促成了高等数学在力学和其它工程方面的应用。在科学家的眼中，20世纪是物理学的世界，21世纪是生物学的世界，因此，21世纪应用数学家所面临的挑战是为生物科学建立数学理论。我现在用以研究蛋白质结构的数学理论就是海森堡50年前提出来的湍流理论。将数学应用到生物科学的研究具有长远的前途，充满了机会。我预期15年以后，这类研究的成果会成为生物学及应用数学两科中的主流，成为本科生教育的一个主要部分。

 我现在可以作这样一个预测：传统应用数学的经验可以在生物学的研究上发挥力量。