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２０世纪６０年代中期他独立于西方创始有限元方法及随后取得的一系列重要成就，使他自２０世纪７０年代后期起驰名世界。１９８０年初，他转向动力系统计算方法的研究。在他去世４年后，这一重大研究成果终于获得了国家自然科学一等奖。这是自１９９０年以来我国仅有的４项国家自然科学一等奖之一。
冯康院士生前一直想总结哈密尔顿系统的辛几何算法方面的相关研究成果并出版一本专著。他已接到了德国Ｓｐｒｉｎｇｅｒ出版社的约稿邀请，并计划等到材料更充实、内容更丰富些时再完成这一工作。他撰写了两章英文书稿，并曾作为讲义在北京大学为研究生讲授。可惜于１９９３年８月冯康院士不幸病逝 他没有来得及实现他的计划。
秦孟兆教授作为冯康教授的长期合作者和追随者，从２０世纪８０年代初冯康课题组成立起就参加了哈密尔顿系统的辛几何算法的研究工作，经历了辛算法创始及发展的全过程。在课题组其他成员的协助下，在研究所的支持下，整理冯康先生的遗稿和一系列已发表过的论著，完成了《哈密尔顿系统的辛几何算法》一书的撰写工作。冯康院士生前计划撰写的主要内容经历了时间的考验，已被包括在本书中。本书不仅能向读者系统介绍哈密尔顿系统的辛几何算法，而且能较全面地反映冯康院士的学术思想，从而进一步促进该领域的研究工作及相关成果的推广应用。
自２０世纪８０年代初以来，哈密尔顿系统的辛几何算法便一直是中国科学院计算数学与科学工程计算研究所包括前身中国科学院计算中心 的重点研究方向。计算中心的首任主任、国际著名数学家、我国计算数学和科学计算事业的奠基人冯康院士１９２０～１９９３ 则是这一新的研究方向的开拓者和带头人。
冯康院士在数学的不同领域作出过许多重要贡献。２０世纪６０年代中期他独立于西方创始有限元方法及随后取得的一系列重要成就，使他自２０世纪７０年代后期起驰名世界。１９８０年初，他转向动力系统计算方法的研究，提出了哈密尔顿系统的辛几何算法，又开辟了一个有广阔应用前景的全新的研究领域。他将生命的最后１０年全部投入到了这一领域的研究中。他组织研究队伍进行了系统、深入的理论研究和数值实验，取得了极其丰硕的成果。在他去世４年后，这一重大研究成果终于获得了国家自然科学一等奖。这是自１９９０年以来我国仅有的４项国家自然科学一等奖之一。
经典力学有牛顿力学、拉格朗日力学、哈密尔顿力学三种形式表示，这些不同数学形式陈述同一物理规律，由于形式不同，它们在实践中对解决问题会提供不同的途径，因此等价的数学形式在实践中可能是不等效的。
首先还得从历史上来考察人们对哈密尔顿体系的评价。哈密尔顿本人是从几何光学着手创建他的理论模式的，而后才转向与光学相距甚远的力学。１９３４年哈密尔顿曾说：“这套思想与方法业已应用到光学与力学，看来还有其他方面的应用，通过数学家的努力还将发展成为一门独立的学问。”这仅仅是他本人的期望。１９世纪同代人对其反应则很冷淡，认为这套理论“漂亮而无用”，著名数学家Ｋｌｅｉｎ在对哈密尔顿体系的理论给予很高的评价的同时，对其实用价值亦持怀疑态度，他说“这套理论对于物理学家是难望有用的，而对工程师则根本无用。”这种怀疑，至少就物理学的范畴而言，是被随后的历史发展所完全否定了。到了２０世纪量子力学创始人之一Ｓｃｈｒ ｄｉｎｇｅｒ曾说“哈密尔顿原理已经成为现代物理的基石，如果您要用现代理论解决任何物理问题，首先得把它表示为哈密尔顿形式。”
哈密尔顿体系的基础是辛几何，哈密尔顿为了研究牛顿力学，引进广义坐标和广义动量来表示系统的能量，现在通称为哈密尔顿函数 对于自由度为ｎ的系统，ｎ个广义坐标和ｎ个广义动量张成２ｎ维相空间，这样牛顿力学成为相空间中的几何学，用现代观点来看，这是一种辛几何学。
看来，不仅辛几何本身的研究是极其丰富而有生命力的，而且它的应用领域极其广泛，如天体力学、几何光学、等离子体物理、地质勘探、分子物理、高能加速器的设计、流体力学、弹性力学、最优控制等。
哈密尔顿体系是动力系统的重要体系，一切真实的、耗散可忽略不计的物理过程都可表示成哈密尔顿体系，它的应用范围很广，包括结构生物学、药理学、半导体、超导、等离子体、天体力学、材料和偏微分方程，其中前５个方面应用已列为美国研究计划重点“Ｇｒａｎｄ Ｃｈａｌｌｅｎｇｅｓ”。
哈密尔顿体系是如此重要，它所包括的有限或无限维的都是特定形式常微分方程和偏微分方程。对于微分方程计算方法的研究从１８世纪起，至今已有异常丰富的积累，专著、论文卷帙浩繁，无论是通用的、普适的方法，还是针对特定类型的方法都是这样，但是发现针对哈密尔顿类型方程的计算方法都基本阙如。这一空白贫乏的现状与哈密尔顿体系的重要性和普适性形成了尖锐的对比是令人费解的。
冯康和他的课题组抓住这个问题进行深入、系统的研究，终于在计算方法这个领域开辟了一个新的分支——辛几何算法。
冯康于２０世纪８０年代初就开始研究针对哈密尔顿体系的计算方法，并于１９８４年在国际微分几何与微分方程北京讨论会上作了题为《差分格式与辛几何》的大会报告，首次系统地提出了哈密尔顿系统的辛几何算法。他组织了一支精干的研究队伍，经过１０多年努力，取得了重要成果，主要包括：
１．提出了哈密尔顿系统的辛几何算法的完整的理论框架；
２．推广了分析力学中生成函数与Ｈａｍｉｌｔｏｎ－Ｊａｃｏｂｉ方程理论，构造了为数众多的任意阶精度的辛格式；
３．讨论了算法守恒性、算法辛不变性与守恒性之间的关系。研究了多步格式，证明了所有线性多步格式对非线性系统都不是辛的。研究了辛算法的ＫＡＭ定理；
４．发展了形式向量场和形式相流的幂级数的完备理论。现在这一理论被广泛地称为常微分方程的后误差分析ｂａｃｋｗａｒｄ ａｎａｌｙｓｉｓ ；
５．把哈密尔顿系统的辛算法的思想推广到一般具有李代数结构的动力系统，实现了动力系统算法的几何化，对接触系统构造了接触算法，对无源系统构造了保体积算法；发展了利用组合格式构造高精度保结构乘积外推的理论。
冯康及其课题组开辟了一个理应受到重视但却长期被忽视的研究领域。由于传统的算法除少数例外，都不是辛算法，不可避免地带有人为耗散性等歪曲体系特征的缺陷，而冯康提出的为数众多的非传统的算法却有保持体系结构的优点，在空间结构对称性和守恒性方面优于传统算法，特别在稳定性与长期跟踪能力上具有独特的优越性。深入的理论分析和大量的数值实验令人信服地表明，辛算法是计算动力学中长期预测问题的有效方法。
出版这本书的目的，在于系统介绍辛几何算法理论及发展，从辛积分子到酉积分子进而到一般李群积分子、变分积分子，从保辛结构、保酉结构、保体积结构、保接触结构，到保泊松结构、保李—泊松结构；从保首次积分格式来说，有保能量格式、保动量格式、保系统特征值等谱流 ；从辛结构本身来说，从保单辛结构主要是常微分方程 到多辛结构偏微分方程 。一句话，统称为保结构算法。
涉及国际上沿着这一方向发展的最新研究成果将另外著作出版，其主要介绍辛几何发展的保结构算法新内容、多辛算法、李群算法、Ｂｉｒｋｈｏｆｆ系统、保微分复形算法、Ｍａｓｌｏｖ渐近理论等。
出版此书的另一目的在于学习冯康的创新精神正如冯端院士在书的后记中所说科学创新要有浓厚的学术气氛 是“一言堂”呢？还是“群言堂”呢？这也是不言自明的，从冯康的科学生涯中，我们不难发现能否容许“独立之精神自由之思想”的发扬光大，是科学能否得到创新的关键问题。让我们继承和发扬冯康的科学创新精神。 |
独立之精神 自由之思想——学习冯康科学创新精神
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